直觉思维——开启数学发现的金钥匙

南通市第二中学 邢尧芳

第九届教师专业成长优秀论文评比一等奖

摘要：学生的数学思维除了逻辑思维，直觉思维也是一种重要的思维方式。它在数学学习中有助于探索与发现;有助于概念生成与知识的建构;有助于对结论或解题方向做出预见;有助于提高学生创造性思维品质等等。根据高中生数学直觉思维的现状，在教育教学过程中可以通过夯实学生数学基础、设置合适的问题情境和动机诱导、渗透数学的美学教育、在解题教学中通过学法指导培养学生的数学直觉思维。

关键词：直觉思维;合情推理;逻辑演绎;数学解题

数学，作为自然科学之母，人类思维的体操，在培养人的聪明才智和发展思维能力方面具有其它学科不可替代的独特作用。新的数学课程标准首次明确将学生数学合情推理能力的培养作为高中数学教学的重要目标之一，而合情推理离不开直觉思维。正是直觉思维赋予了合情推理想象的双翼，引领人们不断去探索，去发现，去创造。作为一名一线数学教师，本文根据学生的实际情况，结合自己的教学实践，对培养学生的数学直觉思维做了些研究。旨在通过本文能带来一些人对数学认识上的转变，并通过对学生数学直觉思维能力的培养，不断提高学生数学学习兴趣，变被动为主动学习，充分享受数学学习的成功喜悦。

一、数学直觉思维的概述

数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，是人脑对数学对象、关系以及结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，也可以说是数学的洞察力。这种思维对一个问题无需逐步分析，仅依据内因的感知即可迅速地对问题答案做出判断，猜想、设想，或者在对疑难问题百思不得其解时，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，就如同古诗中讲的“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉。从某种意义上说，数学直觉思维是合情推理的飞跃与突破，它使得合情推理更富建设性与创造性。

二、高中生数学直觉思维能力的现状

中学数学在揭示客观事物的形与数及其关系时，主要不是借助实验的方法，而是通过严格的逻辑推理来实现的。正是这种原因导致在传统的数学教学中，我们教师过分偏重数学的逻辑演绎，过度强调数学的“严谨，准确，逻辑性”等形式成分，忽略了对学生数学直觉思维能力的培养，很少让学生去观察、去感悟、去猜想,使得原本生动有趣的数学变得枯燥乏味、晦涩难学，从而制约了学生健全数学思维品质的形成。因此当我们提到数学思维能力时，学生就把它等同于逻辑思维能力，以为只有逻辑思维才对数学学习与数学发现有作用。笔者对学生在数学学习中对数学直觉思维的认识、问题解决过程中直觉思维的应用倾向、数学学习能力高低对直觉思维在数学问题解决过程中运用的影响等方面做了份问卷调查。调查结果显示近30%的学生完全不清楚什么是数学的直觉思维;在问题解决过程中近46%的学生靠的以前的解题经验，直觉判断问题的类型和选择解题策略;近54%的学生在探寻解题思路时更多的是从一个或其中几个已知条件进行分析，逻辑思维运用多;33%的学生偶尔会出现一个问题思考很久却不得其解，突然在某一时刻产生灵感，茅塞顿开;75%的优秀学生在数学解题过程中主要还是通过严谨的推理和论证，即逻辑思维要多于直觉思维，而中等生更多的运用的是形象思维和直觉思维——利用已有的知识经验，直接对问题进行猜想判断，然后才是逻辑思维。

三、如何在教学中培养高中生的数学直觉思维能力高中生一方面喜欢“异想天开”，有强烈好奇心;另一方面受知识和思维能力的限制，对某个数学问题往往会有种“说不清，道不明”的感觉。所以这是对他们进行直觉思维能力培养的最佳时期。在数学教学中，如何培养与激发学生的直觉思维呢?笔者认为创设良好的学习氛围，在学习中注重学生观察、实验、归纳、类比的能力的培养，重视美学教育,加强数学思想方法的渗透和学法的指导是行之有效的方法。

1.扎实的数学基础是产生数学直觉的源泉

直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是完全靠凭空想象，靠“机遇”，而要以坚实的数学知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。学生常常惊诧老师解题思路的“快、简、妙”，殊不知,老师一题在手，何尝不是“十月怀胎”方可“一朝分娩”。所以学生数学直觉思维的培养首先要重视“三基”的夯实。

例如已知圆C： 及

求证：不论 为何值，直线 与圆C恒相交。

分析：这是一个判断直线与圆的位置关系问题，表面上是代数问题，但直觉告诉我们用代数方法来证明这个问题是很困难的。若能联想到“直线过圆内一定点，则直线必与圆相交”这一结论，则会从求直线恒过定点入手去证题。此题若没有坚实的数学知识基础，学生就很难联想到通过求直线恒过圆内定点来证题，或者即使想到了，不会求定点也不行，可见坚实的数学基础对产生数学直觉的重要。

2.合适的问题情境和动机诱导是形成数学直觉的关键

兴趣是最好的老师。教师在教学中创设合适的问题情境可以激发学生学习数学的兴趣和求知欲。问题情境的设置要符合学生已有的认知水平，并与学生的现有认知水平之间存在着一定的认识冲突。这种冲突能诱发学生数学思维的积极性。当学生对数学问题给出自己大胆的见解和和设想时，教师要给与充分的肯定和鼓励，以此保护和激励学生的自发性直觉思维。

例如 在推导球的体积公式时不是把公式作为结果直接抛给学生，而可以通过实物展示，在底半径和高均为R的圆柱和圆锥中间放置一个半径也为R的半球，学生由直觉目测就能得到: ，圆柱和圆锥的体积学生已能求出来，即 ，这时可以鼓励学生大胆预测半球的体积，胆大的学生会猜测： ，这时对猜测出结果的同学既要鼓励又要提出更高的要求，如何验证?使学生处于激奋境地，然后通过装填细沙的实验验证半球体积即圆柱与圆锥体积之差与猜想吻合，最后通过寻找等积体的方法用数学工具去证明实验结果。整个过程从猜想到最后的证明，既能激发学生的学习兴趣，又对培养学生的直觉思维能力非常有利。

3. 数学审美观的渗透是培养数学直觉的动力

新课程对学生的评价是多元的。除了关注学生的知识和技能的获得情况，更关注学生学习的过程与方法、情感态度与价值观、审美艺术素养等方面的发展。数学直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，提高审美能力有利于感知研究对象的和谐与整体性。审美能力越强，则数学直觉能力也越强。数学的美推动了学生积极展开直觉思维——提出假设和猜想。数学的审美观对学生思维活动的影响是潜在的、不易被觉察的，但这种审美情感却是培养学生数学直觉的动力。

例如 椭圆的定义， 就可以作为椭圆的方程，但是数学直觉告诉我们它不符合数学美的要求，因此必须化简，化简的过程就是不断追求数学美的过程。化简得到 ，虽然比一开始的方程简单多了，但由椭圆图形的对称性，数学直觉告诉我们上式还不完全符合数学美的要求，于是进一步加工，令 ，代入可得 ，这即为椭圆的标准方程。从椭圆标准方程的推导中我们可以看出“纯粹数学的实际在很大程度上是由我们的关于数学美及纯粹数学的重要性的含糊的直觉来调整的。”数学中的美还表现在其它很多方面：如严密的推理、精美的作图、奇特的联想、巧妙的方法等等，都对培养学生的直觉思维产生着潜移默化的作用。

4.解题教学中的学法指导是开启数学直觉的钥匙

波利亚的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”。可见数学的学习离不开数学解题。那么如何在解题教学中培养学生的数学直觉思维，从而提高学生的数学解题能力呢?笔者认为在解决问题的过程中，可以引导学生先对问题作整体分析，构建数学模型，再由表及里，揭示问题的实质。根据学生的认知规律，教师在解题教学中要有意识的训练学生动脑思考，动手操作，动口表达相结合的能力。

解题注重整体性原则直觉往往是面对问题的第一反应，直接由条件信息转化为与之等价的简单命题，对问题从总体上加以把握。运用直觉思维的整体性原则，可以使复杂问题简单化。

例如已知 ，那么 的值为______.

分析：若该题利用二倍角公式将条件转化为 ，通过求出 的值，再利用同样的方法转化目标函数，最后由 的值算出结果，此法显然比较麻烦。但是直觉上告诉我们 与 有关系。如果从整体上加以观察和分析会发现 ，于是迅速得出 。

(2)一般问题特殊化原则

在具体教学过程中教师还可以设置一些填空题，由于只要填写正确运算结果，省略详细解题过程，容许合理的猜想，有利于数学直觉思维的发展。

例如 过抛物线 的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF，FQ的长度分别为 ，则 _______.

分析：本题如果采用一般方法来处理，有一定的运算量。考虑到题目是个填空题，从形式上看答案应该是一个定值，所以在解题过程中，我们不妨采用取特殊位置的方法，既可以减少运算量，又能迅速得到正确的答案。

当然并不是所有的填空题都能用特殊化的方法来处理。所以，在教学过程中我们需要培养学生这方面的直觉，到底怎样的问题可以特殊化处理。在处理问题的过程中能产生这样的直觉，笔者认为也是一种思维的飞跃。

(3)选择开放性问题教学

选择开放性问题教学也是促进直觉思维形成的有效途径。开放性问题的特点通常表现为条件或结论不够明确，可以从多个角度寻找解题方法，猜想问题答案，并且因为答案的发散性，导致答案的不唯一性。通过这类问题的训练有利于直觉思维能力的培养。

例如 已知a、b、m都是正数，并且 ，求证： 。

这个例题不少数学老师都讲过。假设有b克糖水，其中溶解了a克糖，那么 就表示糖水的浓度，现在往糖水中再加入m克糖，糖水变甜，这就是原不等式的现实意义。但如果就到此为止，一个锻炼直觉思维能力的机会就错过了。笔者在教学中将这个例题尝试改成了一个开放性问题——除了上述不等式，还可以得到哪些结论?以下是课堂上部分学生思考的结果：

①若a、b、m都是正数，并且 ，则 ;

②若a、b、m、n都是正数，并且 ， ，则 ;

③将两杯浓度不一样( )的糖水混合，得到糖水的浓度介于两种浓度之间，即 。

可见，一个常见的例题，只要我们把它用好，同样可以起到培养学生直觉思维能力的作用。近年来各地模拟题和高考题中这样的开放题层出不穷，在教学中适当把这些问题归类讲评，对于发展学生的数学直觉思维大有裨益。

反思我们的教育理念和目的、教学模式和方法，在数学教学中应以直觉与逻辑并重，将直觉与猜想引入课堂，通过创设问题情境，营造平等、开放、操作、交流的学习氛围，激发学生的直觉思维和学习兴趣，让数学教学真正成为数学思维活动的教学，开阔视野，活跃思维，不断培养学生的创新意识和能力，才能更好地推进素质教育，实现新的课程改革的目的和任务。

参考文献:

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