“椭圆”教学中的数学本质呈现

南通市第二中学  李红梅

发表于《数学通讯》第27期 ISSN-1001-8875

摘  要：高中数学教学不仅要重视数学形式的呈现，也要重视数学本质的呈现。不同视角下，对数学本质有着不同的理解，高中数学教学中最需要关注的是教育形态下的数学本质理解。基于这一理解，在椭圆知识的教学中，可以从定义建立、标准方程的探究、椭圆知识在实际生活中的应用等方面，帮学生建立显性的数学语言、数学逻辑、数学方法、数学模型等认识。

关键词：高中数学；数学本质；椭圆

高中数学教学中，任何一个数学内容的教学都不能简单地成为数学知识的传递，这是因为作为面向全体学生的最后一站的基础学科的教学，高中数学担当着充实学生知识基础、完善学生逻辑思维、培养学生科学理性的重担。任何忽视了这一点的教学，都将是不完整的数学教学。而事实上，囿于应试的日常高中数学教学并不能很好地兼顾这一点，这使得数学学习成为相当一部分学生的梦魇。那么，这一现状有没有可能得到改变呢？笔者以为并不困难，关键在于教师转换教学观念，切实从数学本质上把握好高中数学教学的节奏。本文试以“椭圆”（苏教版，选修2-1）为例，谈谈数学教学中如何呈现数学的本质。

一、高中数学教学中数学本质理解

从不同的角度看，数学本质有着不同的理解。作为一线数学教师，关注不同角度下数学本质，其实就是关注自己的数学教学可能给学生带来什么样的数学素养。笔者借鉴了林燎老师的观点，并着重强调从这样的几个方面去生成对数学本质的理解。

①从学科结构的角度，数学本质就是数学模型的建立，数学模型的建立简称数学建模，是高中数学教学的核心任务之一。关于数学建模，需要建立不同层面的理解，数学建模既可以是指建立具体的数学模型，也可以指运用数学建模的思想进行教学，其中后者更应当引起教师的高度重视。在“椭圆”内容的教学中，椭圆的方程与数学模型相关，让学生认识到可以用方程表示不同曲线的方程，原本就是“圆锥曲线与方程”这一章的教学重点之一。②从数学之于社会和人发展的意义来看，数学本质就是数学方法的发现与使用。数学方法的重要性是不言而喻的，但数学方法以什么样的教学方式呈现却需要研究，在“椭圆”内容的教学中，数学方法主要体现在探究椭圆的标准方程的过程中，对数与形的对应关系的发现，对数学逻辑关系的运用等；从数学的学科特点来看，数学本质体现为抽象性、严密性、精确性以及广泛应用性。关于这四点性质，笔者以为在实际教学中最好要显性地教给学生，以让学生认识到数学的这些特点。比如说笔者曾经向学生介绍经济学家利用数学模型，以发现经济发展规律的例子，吸引了相当一部分学生。就拿“椭圆”这一节的教学来说，数学的抽象性显然体现在简洁的椭圆图形及椭圆的定义、标准方程等上面，而严密性与精确性自然也蕴含其中，即使对于椭圆知识的应用而言，除了解题之外，实际应用其实也很广泛，比如说电影放映机的光源就是置于椭圆的一个焦点之上，又比如说天体的运动轨道就是一个椭圆等，带着学生去涉猎或者分析这些现象，可以感受到椭圆知识的生活魅力，而这也是学生触摸数学本质的重要手段。

需要特别提出的是，数学本质的“教育形态”理解，笔者以为这是教师带领学生感受数学魅力的关键所在。教育形态泛指学生在学校或者说课堂上呈现出的一种接受教育的状态，从数学的角度来看，可以发现学生的数学学习生活基本上是在教室内度过的，数学课堂上能够带着学生进入什么样的数学殿堂，直接关系着学生的数学理解-------当然并不是说课堂之外的数学并不重要，事实上，如果学生的数学思维能够延伸到生活当中，那也是数学教学成功的标志之一。笔者以为教师需要在数学课堂上激活学生的思维，以让学生在“火热的思考”和“生动的过程中”感知数学。

二、高中数学教学中数学本质呈现

那么，在实际教学中如何向学生呈现数学本质，并让学生实际感受到数学本质之于数学内容与形式的意义呢？笔者仍然以椭圆为例，谈谈笔者的思考与做法。

其一，给椭圆下定义，感受数学语言及表达式呈现的数学本质。实际教学中，不少学生认为“将正圆压扁了就是椭圆”，这是生活形成的朴素经验的体现，可以称之为基于前概念的“朴素定义”。这种朴素定义在课堂上常常只是引发其余学生的一笑，但事实上，如果仔细发掘，却可以大多数学生都存在这样的认识。其事例对于数学学习没有直接的作用，但其背后所体现出来的学生的想法却值得教师在课堂上作为椭圆概念形成的生活基础。在这一基础上，当教师利用固定在小黑板上的两个钉子，将一根较长的绳子两端分别固定在两个点上，然后画出一个椭圆时，学生会发现如此构建出来的椭圆与其原来构建椭圆的方式并不相同，此时学生会下意识地用“集合”的概念来定义椭圆：到两个固定点的距离为定值的点的集合。显然，从学生的生活经验到数学角度的过渡也就顺利实现了。最后当教师呈现“平面内到两个定点F₁、F₂的距离的和等于常数（大于F₁F₂）的点的轨迹”的科学定义时，学生则自然会生成一种比较意识，并进而发现这样的数学表达更合理。此时教师只要从数学本质的角度稍加提醒，学生就能认识到数学概念的定义关键在于数学语言的准确、精确，相应的椭圆的定义式也算是唾手可得。

其二，探究椭圆的标准方程，感受数学逻辑与数学推理的数学本质。这是椭圆知识教学的核心内容，得出过程虽不复杂，但教学方式的选择却很重要。让学生基于椭圆的定义式去进行推理，并引导学生基于坐标（首先需要建立坐标系）去进行思考，是探究的核心所在，而此知识的启发关键可以是借助于椭圆图形的对称性，再基于定义式进行逻辑上的演绎与推理，则可顺利得出椭圆的标准方程。此过程中，亦需要向学生显性地强调数学逻辑与数学推理，以让学生明确认识到椭圆的标准方程，从数学促进知识生成与发展的角度来认识数学本质。需要强调的是，椭圆的标准方程从表面来看是描述椭圆图形的一种很自然的方式，但是在教学中需要强调，椭圆是属于“形”的，而方程是属于“数”的，用方程来描述包括椭圆在内的所有曲线，是数与形的又一次完美结合，也说明数学学习的实质就是研究数与形的关系。这样的理论提升，往往可以让学生对于数学产生更为深刻的认识，也有助于在学生的思维中种下真正的数学本质的种子。

其三，寻找生活中的椭圆，感受数学知识描述生活实际的数学本质。这里所说的生活中不仅包括学生所能感知到的生活世界，也包括学生想像力所能及的未知世界。事实上，在高中数学教学中，生活往往更多的是指思维所构建出来的生活。在学生身边的各种设计中，在遥远的行星轨迹中，椭圆的魅力永远需要去探究，正如笔者在教学中举出行星轨道的例子时，有学生问为什么行星的运动轨迹会是椭圆呢？坦率地讲，笔者给不了学生答复，但笔者几乎可以肯定的是，一旦真实的原因被发现，那这个原因一定可以用数学形式来描述。追求现象背后的数学描述，原本就是科学家在努力的事情。

三、面向数学本质的高中数学教学

“火热的思考”和“生动的过程中”是高中数学同行的原话，在笔者看来共有着丰富的意义。

“火热的思考”意味着学生的数学学习过程不应当是枯燥无味的，“生动的过程”意味着数学学习的过程不应当是空洞抽象的。高中数学之所以给学生造成一种抽象复杂的印象，重要原因在于数学教学的对象过多地依靠符号与形式，而忽视了数学的本质。因此，面向数学本质应当成为高中数学教学的积极取向。

面向数学本质，意味着数学教师在日常的教学过程中要把握好形式与实质的关系，要把握好解题训练与数学思维训练的关系，就笔者的理解而言，当前考试导向下的高中数学教学更多地侧重于形式的训练，通过不同的题型去强化不同类型习题的解答，某种程度上并不能促进学生的数学思维，而只是将一类解题思维通过重复的形式以让学生在真正遇到时能够有一种自动化的效果而已，其基本上与学生的数学思维没有太大的关系，其所导致的结果也就是常常为人所诟的“高分低能”。而如果专注于数学本质，那课堂教学就会呈现出另一种状态，这个时候学生更多的会将思维集中在数学逻辑关系的梳理上，集中在数学问题的探究上，这个时候学生的数学知识及其运用可能会没有应试形态下那么熟练，但却能将思维的触角伸到数学的各个角落。两者相比较，孰优孰劣，一眼明了。当然，在客观条件的限制之下，教师的智慧往往体现在应试与数学本质两不误上，这显然需要高中一线教师的数学教师付出更多的努力。

总的来说，不同的视角对数学本质有着不同的解读，而要想让学生真正树立基于数学本质的学习观念，教师带着对数学本质的理解并适当程度上进行显性的教学是必然选择，关于这一点如何进行才更为有效，笔者也仍在探究的路上。

参考文献：

1. 林燎，中学数学教学要注意数学本质的呈现，数学通报，2009.8
2. 林夏水，数学本质.认识论.数学观，数学教育学报，2002.3