高中数学教学中学生批判性思维培养再议

南通市第二中学    纪荣

发表于《数学教学通讯》第6期 ISSN1001-8875

摘  要：批判性思维是高中数学学习中的宝贵思维方式之一，批判性思维有三个要素，一是发现问题；二是自身逻辑；三是自身主张。学生在数学学习的过程中，只有基于自身逻辑去发现问题并提出自身的主张，才是批判性思维的完整过程，而高中数学教学中培养学生的批判性思维，也应当从这三个角度入手。

关键词：高中数学；批判性思维；培养

关于学生的批判性思维培养，在高中数学教学中早有讨论，只不过近些年来由于更多地讨论教学形式（如合作探究式教学）与教学效果（如有效教学）等，

而对学生的内在学习过程与思维培养的有所淡化。如今，课程改革已有十余年，不少有识之士重新将对数学教学研究的视角转移到学生的思维上来，笔者以为这是高中数学教学研究的“固基”之举，有着重要的意义。

从学生学习的心理角度来分类，思维有很多种，其中批判性思维最具魅力，在实际教学中培养学生的批判性思维也最具挑战性。需要强调的是，批判性思维不是指逢正常即反，非得搞出点什么批判的味道出来才叫批判性思维。批判性思维其实际是一种“对于某种事物、现象和主张时能够发现问题所在，并能根据自身的逻辑作出主张的思维”。从这一描述上来看，发现问题、自身逻辑和自身主张，是批判性思维的重要特征。因此，高中数学教学中，学生的批判性思维培养也应当着眼于这几点来进行。

一、发现问题，诞生批判性思维的源头

要想培养学生的批判性思维，首先要让学生在思维中有可以批判的对象，这一对象来自于对问题的发现，因此可以说发现问题就是批判性思维的源头。在高中数学教学中，发现问题的环节可以存在于多个教学环节，但对批判性思维培养的过程中，发现问题却具有更为重要的意义，因为在这种过程中，发现问题往往是发现与自身逻辑不一致的问题（这与下面第二点要论述的自身逻辑相关，此不赘述）。

在“任意角的三角函数”教学中，对于一个任意角α，如何定义其三角函数呢？学生由于先前的一些学习经验，会直觉性地反应出利用构建直角三角形的方法来定义。但在高中数学学习中却超越了这一理解，变成了在角α上任取一点（设为P），然后利用该点的坐标及相应的比值去定义该角的三角函数。在这个时候学生常会提问：为什么要用点P的三个比值来定义任意角的三角函数呢？

这个问题的发现在于此处所用的方法与学生原先掌握的方法是不一致的（至少从形式上来看是不一致的），有矛盾就有了问题，而要解决这个问题，就需要学生的进一步思维。笔者在教学中引导学生大胆思考与表达，起初学生对任选的一点P抱有怀疑态度——任意选的这一点具有代表性吗？而这其实就是学生批判性思维的一种体现！在随后的分析中，学生会发现这一点虽是任选的，但建立在这一点基础上的三个比值却是一个定值，且这一比值只与角α的大小（终边）有关，因而这种方法是合适的。

在这一过程中，学生通过新知与旧知的比较发现问题所在，从而也就诞生了一种批判性的思维，在这一思维的驱动之下，学生自发地对问题进行了剖析与思考，并且寻找到原因所在。因此这一过程可以说是批判性思维作用下的一个完整的学习过程，对于掌握任意角的三角函数的定义自然大有益处。如果教师能够将学生的思维过程提取出来，并且鼓励学生多进行这样的思维，那就是批判性思维的培养过程了。

二、自身逻辑，形成批判性思维的系统

需要强调的是，在更多的场合，批判性思维会更为明显地与学生自身的逻辑联系在一起。教学中，教师可以精心挑选、组织讲授内容，给学生留下思考的时间和空间，培养学生独立思考，独立完成作业的习惯，培养学生学会使用课本，理解知识点的来龙去脉，教学中有意识的进行阶段总结，教会学生将知识条理化结构化，形成自身的逻辑体系。将批判性思维有效融合在学生学习当中，也将成为高中数学教学的一个重要契机。如上面第一点所说，问题的发现其实是在学生的思维中，新旧知识出现了冲突，而这种冲突的显现又是逻辑作用的结果。一般认为，批判性思维不是一种对应于时刻的状态，而是一个对应着时间的过程，学生的批判性思维在数学学习中的表现，一般都会对应着一个具体的数学知识理解的过程。因此，基于这个过程并去培养学生的逻辑思维能力，其实就是培养学生的批判性思维的能力。

例如：如果1+x+y=0，求 的最小值。在学生遇到最值问题时，经常反应出来的是代数思路，根据笔者的调查，学生这个时候的思路多集中在对x、y的取值范围，将前者变形为y关于x的函数并代入到后者当中，并进一步以代数思路进行求解上来。笔者以为，这样的思路是符合学生习惯性的思维逻辑的，因为代数问题常常就是用代数思路来解决的。

在实际教学中，当笔者用代数思路进行求解且克服了较大困难之后才完成解题过程时，有一个数学基础极好的学生提出：本题可以将代数问题化解成几何问题来求解。具体思路是： 其实质是点（-1，-1）到点（x，y）的距离公式，因而原题就可以转换成直线1+x+y=0与点（-1，-1）的最小距离，直接运用点到直线距离公式求解。这样的思路显然得到了其他同学的赞扬，更有意思的是在笔者追问他是如何想到这思路时，他是这样表示的：这一题目用代数的思路这么复杂，我就想肯定还有更好的方法，所以就想这与几何图形是不是存在着一定的关系。有了这个想法，立刻就发现了 实际上就是点（-1，-1）到点（x，y）距离的表达公式，随后思路就打开了……

分析这一学生的思维过程，笔者以为这是批判性思维典型的逻辑特征：对研究对象有自己的看法，但又不满足于现状，然后根据自己的逻辑产生了新的想法，并且成功地得到了验证。

需要强调的是，学生自身的逻辑有时并不完全正确的，学生在新知学习的过程中，极有可能根据自身不完善的逻辑推理出错误的结果，这个时候如果学生大胆提出，就是一种有缺陷的批判性思维的过程，不过，数学教师应当给予同样的重视，因为这往往也是一个重要的教学契机。

譬如有教师在教含绝对值不等式的解法时，给学生提供了｜x²-5x｜＞6这一不等式，而学生在解题过程中则利用了｜x｜＞a（a＞0）推理得出x＞a或x＜-a（本质就是一个去绝对值符号的过程）。在讲授完本例后，上课教师进行了变式训练，将原题改为｜x²-5x｜＞6x，而学生的想法往往就会受到原来思路的影响，从而有这样的一些思维过程，如：由原不等式可得x²-5x＞6x或x²-5x＜-6x，然后得出x的取值范围（具体略）。问题在于对于这一思维过程，有不少学生从求异的角度、从批判的角度认为其是错误的，学生的理由（实际上也就是内心的一种逻辑）是这样的解题过程中，由于没有确认原题中的6x一定是正数，因而一开始得出的两个关系式就是错误的。

学生的思维有没有道理呢？有道理！因为其是符合教师初始给出的习题的解题思路的，问题在于6x是不是正数，是否真的影响解题的过程与结果。如果能够从这一角度引导学生对自身的批判性思维进行再批判，便会发现自己原来认为的影响条件其实并不是真正的影响因素，而这样的基于批判基础上的再批判，对于学生完善自身的批判性思维的意识与能力是极有好处的。

三、提出主张，批判性思维的呈现形式

在学生批判性思维得以培养的过程中，学生提出的主张也是值得关注的一个重点。因为作为逻辑思维，往往是内在于学生的思维当中的，教师往往是看不出来的。教师能够看到的能够听到的，一定是学生表现出来的东西，如学生用数学语言阐述解题思路，或者用文字语言符号语言形成解题过程等等，而这些其本质就是学生基于批判性思维的主张结果。

对于批判性思维的呈现形式，学生所提出的主张一般来说都能准确地反映学生的思维过程，因为高中学生的语言文字能力还是具有一定基础的。因而学生所说出的，所写出的，一定是我们数学教师最需要研究的内容。

当然，这里也有例外，由于学生客观上表达能力不强，由于学生的一些小失误，会导致学生在所提出的主张中出现这样那样的错误，这是教师在研究的过程中需要甄别的。

爱因斯坦曾说：“使青年人发展批判独立思考，对于有价值的教育也是生命攸关的。”作为数学教师，需要通过对自身教学过程的反思，来理顺培养学生批判性思维的教学思路，某种程度上讲，教师也需要对自身的教学行为进行批判式的思考，以通过一种自我审视式的视角来获得对自身教学的理解与提升。可以肯定地说，如果数学教师自身缺乏批判性的意识与思维能力，那是无法培养学生的批判性思维的。

参考文献：

1. 钟启泉，“批判性思维”及其教学，全球教育展望，2002.1
2. 徐华，数学课可以走多远——教材的简约性与学生思维的批判性的培养，数学通报，2009.7
3. 刘儒德，批判性思维及其教学，高等师范教育研究，1996.4