一元二次不等式应重视三问题

南通市第二中学    丁建国

发表于《中学课程辅导》第3期  ISSN1992-7711

一元二次不等式是高中数学不等式模块中的重要内容，是高考数学中C级考点。我们在学习一元二次不等式时，不仅要理解它与二次函数、一元二次方程的关系，还要重视一元二次不等式的解法、一元二次不等式的恒成立、一元二次不等式含参数这三个问题，注意其中所蕴含的重要知识内容和数学思想方法，通过它的学习要提高自己分析、解决问题的能力。本文试就一元二次不等式的解法、恒成立、含参数这三个问题作个阐述，以享大家。

一、一元二次不等式的解法

设一元二次方程 的两个实数根为 ，则一元二次不等式 的解集为 ，该解集实质是二次函数 在 时对应图象 的取值集合；而 的解集为 ，实质是 时对应图象 的取值集合。故我们在解一元二次不等式时常常结合一元二次方程、对应二次函数图象来进行。

例1. 解不等式：（1） （2）

解析：（1）令 ，由 得 ，

函数 的图象如图所示，

当 时， ，

所以，不等式的解集为 。

（2）令 ，由 得 ，

函数 的图象如图所示，

当 时， ，

所以，不等式的解集为 。

评注：1.利用三个二次的关系解一元二次不等式是一种常用方法，其思想方法是数形结合。

2. 从另一角度讲， ，  由 得 ，这两数将数轴分成三段，从右往左  每段的两因式 的符号依次为全正、一正一负、两负，则当 时积为正； ，同理得两数之外积为正。由此推广可得解分式不等式、简单高次不等式的一种方法——穿根法。将分式不等式化为一边为0，另一边化为积或商的形式如 （注意 的系数通常化为 正），求分子、分母的零点为 ，并按大小在数轴上标出，然后从右向左从上往下穿（如图示）得分式的符号为正的解是 。

例2. （1）若不等式 的解集为 ，则        

（2）若不等式 的解为 ，求 的解。

解析：（1）由不等式 的解集为 知，

3和4是方程 两根，且

所以 ，解得，

（2）由不等式 的解为 知，

和 是方程 两根，且

所以 ，解得， ，

所以 可化为 ，

即 ，

。

评注：给出一元二次不等式 的解集，可推知 的符号及方程 的两根。与解一元二次不等式的思维过程不同，这是逆向思维过程。

例3. 解关于 的不等式：

解析：若 ，则不等式为：  ， ，

所以不等式的解集为 ；

若 ，则不等式为： ，

由 得 。

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

评注：解含参数的一元二次不等式，必须分类讨论。本题首先根据 与 进行一级分类，在对 时两根 大小关系进行二级分类。特别提醒，在若 时， 开口向下，且 ，所以不等式的解集应为两根之外即 。

例4.（1）求函数 的定义域；

（2）已知 ， ,则 的子集个数为           。

解析：（1）由 得 ，

所以所求定义域的定义域为 。

（2）

，

，有子集 个。

评注：一元二次不等式的解法应用常常体现在求函数的定义域、化简集合等问题之中，故熟练正确的解一元二次不等式是我们解决数学问题的一个基础。

二、一元二次不等式的恒成立问题

有关一元二次不等式的恒成立问题，根据所给区间常见两类，一是在R上恒成立，另一个是在某区间I上的恒成立。

例5.

（1）若对于 ， 恒成立，求 的取值范围；

（2）若对于 ， 恒成立，求 的取值范围.

解析：（1）由已知得， 在R上恒成立；

， ，     。

（2）由已知得， ，对于 恒成立，

二次函数 开口向上，对称轴 ，

若 ，则有 ，解之得

若 ，则有 ，解之得

若 ，则有 ，解之得

综上， 的取值范围 。

评注：有关恒成立的结论有：

1. 在R上恒成立 ；

2. 在R上恒成立 或 ；

3. 在区间I上恒成立 （若 不属于值域时可取等号）；

在区间I上恒成立 （若 不属于值域时可取等号）。

三、一元二次不等式的含参数问题

在解有关一元二次不等式的含参数问题时，我们常用到数形结合、分类讨论、主元法、分离变量、转化的思想方法。初学时要注意学习、积累、掌握这些方法来解决数学问题。

例6.当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解析： ， ，

当 时，不等式 恒成立

等价于 在 恒成立；

等价于 ，其中 。

令 ，则 在 上递减， ，

。

评注：令 ，则当 时，不等式 恒成立等价于 。在求 时须对对称轴 与区间 位置关系分三种情形讨论。但本例中采用分离变量法，回避了这种复杂的分类讨论，解法十分简洁。

例7.若对于 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解析：问题等价于 ， 恒成立；

令 ，则 在 上单调连续，

，即 ，解之，得 ，

所以，实数 的取值范围为 .

评注：我们通常把不等式 看做是关于 的不等式，但在这里却看做关于 不等式（反客为主了），从而使得解题十分简便，这种方法是主元法。

例8.设 ，关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，求实数 的取值范围。

解析：设 ，

则零点为 ，抛物线开口向上，有图像可知

 

解之，得 ，

所以，实数 的取值范围为 .

评注：本题是一元二次方程的根的分布问题，通常可转化为二次函数的零点问题，结合图象再转化为不等式问题。

一元二次不等式应重视三问题

丁建国

一元二次不等式是高中数学不等式模块中的重要内容，是高考数学中C级考点。我们在学习一元二次不等式时，不仅要理解它与二次函数、一元二次方程的关系，还要重视一元二次不等式的解法、一元二次不等式的恒成立、一元二次不等式含参数这三个问题，注意其中所蕴含的重要知识内容和数学思想方法，通过它的学习要提高自己分析、解决问题的能力。本文试就一元二次不等式的解法、恒成立、含参数这三个问题作个阐述，以享大家。

一、一元二次不等式的解法

设一元二次方程 的两个实数根为 ，则一元二次不等式 的解集为 ，该解集实质是二次函数 在 时对应图象 的取值集合；而 的解集为 ，实质是 时对应图象 的取值集合。故我们在解一元二次不等式时常常结合一元二次方程、对应二次函数图象来进行。

例1. 解不等式：（1） （2）

解析：（1）令 ，由 得 ，

函数 的图象如图所示，

当 时， ，

所以，不等式的解集为 。

（2）令 ，由 得 ，

函数 的图象如图所示，

当 时， ，

所以，不等式的解集为 。

评注：1.利用三个二次的关系解一元二次不等式是一种常用方法，其思想方法是数形结合。

2. 从另一角度讲， ，  由 得 ，这两数将数轴分成三段，从右往左  每段的两因式 的符号依次为全正、一正一负、两负，则当 时积为正； ，同理得两数之外积为正。由此推广可得解分式不等式、简单高次不等式的一种方法——穿根法。将分式不等式化为一边为0，另一边化为积或商的形式如 （注意 的系数通常化为 正），求分子、分母的零点为 ，并按大小在数轴上标出，然后从右向左从上往下穿（如图示）得分式的符号为正的解是 。

例2. （1）若不等式 的解集为 ，则        

（2）若不等式 的解为 ，求 的解。

解析：（1）由不等式 的解集为 知，

3和4是方程 两根，且

所以 ，解得，

（2）由不等式 的解为 知，

和 是方程 两根，且

所以 ，解得， ，

所以 可化为 ，

即 ，

。

评注：给出一元二次不等式 的解集，可推知 的符号及方程 的两根。与解一元二次不等式的思维过程不同，这是逆向思维过程。

例3. 解关于 的不等式：

解析：若 ，则不等式为：  ， ，

所以不等式的解集为 ；

若 ，则不等式为： ，

由 得 。

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

若 ，则 ，所以不等式的解集为 ；

评注：解含参数的一元二次不等式，必须分类讨论。本题首先根据 与 进行一级分类，在对 时两根 大小关系进行二级分类。特别提醒，在若 时， 开口向下，且 ，所以不等式的解集应为两根之外即 。

例4.（1）求函数 的定义域；

（2）已知 ， ,则 的子集个数为           。

解析：（1）由 得 ，

所以所求定义域的定义域为 。

（2）

，

，有子集 个。

评注：一元二次不等式的解法应用常常体现在求函数的定义域、化简集合等问题之中，故熟练正确的解一元二次不等式是我们解决数学问题的一个基础。

二、一元二次不等式的恒成立问题

有关一元二次不等式的恒成立问题，根据所给区间常见两类，一是在R上恒成立，另一个是在某区间I上的恒成立。

例5.

（1）若对于 ， 恒成立，求 的取值范围；

（2）若对于 ， 恒成立，求 的取值范围.

解析：（1）由已知得， 在R上恒成立；

， ，     。

（2）由已知得， ，对于 恒成立，

二次函数 开口向上，对称轴 ，

若 ，则有 ，解之得

若 ，则有 ，解之得

若 ，则有 ，解之得

综上， 的取值范围 。

评注：有关恒成立的结论有：

1. 在R上恒成立 ；

2. 在R上恒成立 或 ；

3. 在区间I上恒成立 （若 不属于值域时可取等号）；

在区间I上恒成立 （若 不属于值域时可取等号）。

三、一元二次不等式的含参数问题

在解有关一元二次不等式的含参数问题时，我们常用到数形结合、分类讨论、主元法、分离变量、转化的思想方法。初学时要注意学习、积累、掌握这些方法来解决数学问题。

例6.当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解析： ， ，

当 时，不等式 恒成立

等价于 在 恒成立；

等价于 ，其中 。

令 ，则 在 上递减， ，

。

评注：令 ，则当 时，不等式 恒成立等价于 。在求 时须对对称轴 与区间 位置关系分三种情形讨论。但本例中采用分离变量法，回避了这种复杂的分类讨论，解法十分简洁。

例7.若对于 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解析：问题等价于 ， 恒成立；

令 ，则 在 上单调连续，

，即 ，解之，得 ，

所以，实数 的取值范围为 .

评注：我们通常把不等式 看做是关于 的不等式，但在这里却看做关于 不等式（反客为主了），从而使得解题十分简便，这种方法是主元法。

例8.设 ，关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，求实数 的取值范围。

解析：设 ，

则零点为 ，抛物线开口向上，有图像可知

 

解之，得 ，

所以，实数 的取值范围为 .

评注：本题是一元二次方程的根的分布问题，通常可转化为二次函数的零点问题，结合图象再转化为不等式问题。